ポートフォリオのリターン

投資資産の集まりをポートフォリオと言います。株と債券に投資しているなら、それらを合計した資産全体をポートフォリオと言います。

証券投資の話をするなら最初にポートフォリオのリターンの話が出てくるので、LaTexの練習がてら書いてみましょう。

t-1からtまでの1期間（1日とか1ヶ月とかと考えてください）の証券（資産）iのリターンを ${\displaystyle R_i}$ 、ある時点tの時価総額を ${ \displaystyle M_{i,t}}$ とすると、

${ \displaystyle R_i = \frac{M_{i,t}-M_{i, t-1}} {M_{i,t-1}} = \frac{M_{i,t}} {M_{i,t-1}}}-1$

と定義することができます。

また、ある証券iの時点tの時価総額を ${\displaystyle M_{i,t}}$ とし、証券をn個保有するポートフォリオを考えると、その時価総額 ${\displaystyle M_{p,t}}$ は、iからnまでの ${\displaystyle M_{i,t}}$ の合計なので、

${\displaystyle M_{p,t}= \sum_{i=1}^{n} M_{i,t} }$

ですね。

証券iのリターンと同様にポートフォリオのリターンを、

$R_p = \frac{M_{p,t}-M_{p, t-1}} {M_{p,t-1}} = \frac{M_{p,t}} {M_{p,t-1}}-1$

とします。

${ \displaystyle R_i = \frac{M_{i,t}} {M_{i,t-1}}}-1$ より、

$M_{i,t}=M_{i,t-1}(R_i +1)$ なので、

${\displaystyle M_{p,t}= \sum_{i=1}^{n} M_{i,t}= \sum_{i=1}^{n} M_{i,t-1}(R_i+1) }$ から、

$R_p = \frac{M_{p,t}} {M_{p,t-1}}-1 = \frac{\sum_{i=1}^{n} M_{i,t-1}(R_i+1)} {M_{p,t-1}}-1$

${ \displaystyle= \frac{\sum_{i=1}^{n} M_{i,t-1}R_i + \sum_{i=1}^{n} M_{i,t-1}} {M_{p,t-1}}-1 = \frac{\sum_{i=1}^{n} M_{i,t-1}R_i } {M_{p,t-1}} }$

ここで期初（t-1）時点の証券iの保有比率（ウェイト）を、

${\displaystyle W_{i}= \frac{M_{i,t-1}}{M_{p,t-1}}}$ とすると、

$R_p = \sum_{i=1}^{n} W_iR_i$

となり、ポートフォリオのリターンは保有証券（資産）の（期初）ウェイト×（期間）リターンで簡単に表現できることが分かりました。

ウェイトとリターンとベクトルで表現すると、

${ \boldsymbol{W} = \left( \begin{array}{c} W_1\\ W_2\\ \vdots\\ W_n \end{array} \right) , \boldsymbol{R} = \left( \begin{array}{c} R_1\\ R_2\\ \vdots\\ R_n \end{array} \right) }$

とかけるので、ポートフォリオのリターンは

$R_p = \boldsymbol{W^T}\boldsymbol{R}$

とベクトル ${ \displaystyle \boldsymbol{W} }$ と ${ \displaystyle \boldsymbol{R} }$ の積による内積（スカラー）として表すことができました。

${ \displaystyle \boldsymbol{W^T} }$ は ${ \displaystyle \boldsymbol{W'} }$ などとも書いて、転置ベクトル（ベクトルの縦と横をひっくり返したもの）を表します。ファイナンスの参考書などを読んでいると、ベクトルは高校の時に習う矢印のついた ${ \displaystyle \vec{a} }$ ではなく、太字で書かれていることが多いので、突然出てきても戸惑わないようにしましょう。

とりあえず、ポートフォリオのリターンが定義できたので今日はこれくらいで。