ジニ係数

経済学だけでなく最適化など色々なところで顔を出すジニ係数ですが、ウィキペディア*1によるとローレンツ曲線を参照せずにジニ係数を定義すると、

{ \displaystyle G= \frac{1}{n} \left( n+1-2 \left( \frac{ \sum_{i}^{n} \left( n+1-i \right) y_i}{ \sum_{i=1}^{n} y_i}\right) \right) }

とあって求め方も色々あるようですが、一番簡単そうな台形の面積を使って確認してみました。

 

ローレンツ曲線の上側、下側の面積をA、Bとすると、A+B=0.5より

{ \displaystyle G= \frac{A}{A+B} =2A=1-2B }

ですので、Bの面積を求めればよいですね。

 

今非負の離散量{ \displaystyle y_i \geqq 0}をn個観測しているとします。

また、

 { \displaystyle S =\sum_{i=1}^{n} y_i }

とすれば、

 { \displaystyle 1=\sum_{i=1}^{n} \frac{y_i}{S}  }

ですね。

 

Bは高さ{ \displaystyle \frac{1}{n}  }の台形が横にn個並んでいることになるので、その面積の合計として、

  { \displaystyle B =  \frac{y_1}{2nS} + \frac{ y_1 + \left(y_1+y_2\right) } {2nS} + \frac{ \left(y_1+y_2\right) + \left(y_1+y_2+y_3\right) }{2nS}+... }

 { \displaystyle +\frac{\left(y_1+y_2...+y_{n-1}\right) + \left(y_1+y_2+...+y_n\right)}{2nS}  }

 { \displaystyle = \frac{2y_1+ 2 \left(y_1+y_2 \right)+... +2 \left(y_1+y_2+...+y_{n-1}\right)+\sum_{i=1}^{n} y_i}{2nS} } 

 { \displaystyle = \frac{y_1+  \left(y_1+y_2 \right)+... + \left(y_1+y_2+...+y_{n-1}\right)+\sum_{i=1}^{n} y_i-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n} y_i }{nS} } 

 { \displaystyle = \frac{ ny_1+  \left( n-1 \right) y_2 + \left( n-2 \right) y_3+... + 2y_{n-1} + y_n-\frac{1}{2}S }{nS} } 

 { \displaystyle = \frac{ \sum_{i=1}^{n} \left( n+1-i \right) y_i }{nS} -\frac{1}{2n} } 

となります。これを、

{ \displaystyle G=1-2B }

に代入すると、

{ \displaystyle G=1- 2\left( \frac{ \sum_{i=1}^{n} \left( n+1-i \right) y_i }{nS} -\frac{1}{2n} \right) =1-  \frac{ 2\sum_{i=1}^{n} \left( n+1-i \right) y_i }{n \sum_{i=1}^{n} y_i} +\frac{1}{n}  }

{ \displaystyle = \frac{1}{n} \left( n+1-2 \left( \frac{ \sum_{i=1}^{n} \left( n+1-i \right) y_i}{ \sum_{i=1}^{n} y_i}\right) \right) }

ですね。

これを整理すると、

{ \displaystyle G=\frac{2\sum_{i=1}^{n} iy_i}{n\sum_{i=1}^{n} y_i} - \frac{n+1}{n}  }

こんな感じですね。

30代半ばからの資産運用①~イントロ~

最近、友達からDC*1の相談を受けたり、同窓会なんかに顔を出してもその類の話を聞かれることがよくあります。年齢的にそういう年頃なわけですが、宴席でガチでアセットアロケーション*2の話なんかできないし、聞かれたことに答えたりするくらいしかできないんですが、当然断片的なことしか言えないわけで、まぁだったら全く更新してないこのブログでも使って、もうちょっと体系的な話を書いておいたら、誰かの参考にはなるかもしれない思ったので、続くか分かりませんが、ちょっと書いてみようかなと。

 

ちなみに僕は証券アナリスト*3は持ってますが、FP*4とかは持ってません。ので家計資産のプランニングのプロではないので、その辺の知識ついて書くことは教科書的な裏付けがないだたの私見と思ってください。

 

で、最初なんでざっくりした話から。最近飲み会で聞かれた質問に「マメじゃないと資産運用ってできないの?」っていうのがあって、そこからかい!と思ったんですが、まぁ、けどほんとのほんとの入り口として意外といい質問というか、結構大事な話も入ってるような気がするので、ちょっと考えてみたいと思います。

 

で、回答としては「やり方次第」だと思います。資産運用の仕方にも色々あります。 適当ですけど、例えば、以下の3つの場合を考えてみます。

①自分で銘柄を選んで個別株式などを購入して運用する:この場合企業の財務情報に関する知識や収益に対して株価が割安か割高かとか、これからその銘柄が上がるかを見極める目利きの能力が必要で、株価も頻繁にチェックする必要があります。知識や経験、マメさ(資産運用なかける時間)も相当必要なのでここで想定しているような資産運用の初心者にはちょっと難しいでしょう。

②株式や債券の投資信託などを自分で組み合わせて運用する:自分で資産配分を決めて投資する対象を選んだり、定期的に上がった資産を売って下がった資産を購入*5したりする必要があるので、ある程度の運用に関する知識とマメさが必要になります。金融機関で働いている人などで投資に関する基本的な知識がもとからある人とか、自分でちょっと勉強してもいいからコストを抑えて長期投資したいという人はこのタイプが向いているかもしれません。

③資産運用はしたいんだけど、自分で定期的に取引なんて面倒だし、出来るだけ手間をかけずに運用したい:こういう場合はバランス型*6投資信託を定額に積み立て投資するという手があります。この場合最初に自分で投資する投資信託を一つ決めたら、あとは定額で自動積み立てにしておけば、毎月自動で決まった金額その投資信託を購入してくれるので、最初に投資対象を選ぶ以外はたまに資産額をチェックするくらいで大丈夫です。

 

適当な例ですが、それぞれ必要となる知識やマメさが違います。自分の知識と経験、資産運用に割ける時間などを考えて、自分にあったスタイルの資産運用を考えることが必要です。

 

資産運用の方法は他にもたくさんあります。例えば最近は証券会社が提供するファンドラップ*7というサービスも結構流行っているようで、お任せでやりたい場合こういうサービスを利用するという手もあります。でも、ここでは資産運用に必要な基本的な知識を紹介していきたいので、まるごとお任せのファンドラップなどはひとまずおいといて、ネット銀行とかDCなどで投資信託を使って初めて資産運用する人をベースに書いていきたいと思います。


  老後の資産形成に向けて資産運用が必要とか良く聞くけど、何をしたらいいか良くわらかないとか、良く分かんないけど銀行で勧められて投資信託買っちゃったけどこれどうなの?とか、会社でDC始まった、あるいは独立して青色申告してるからDC始めたいけどどういう投資信託選んだらいいかよく分かんないとか、主にこういう悩みを抱えている人の参考になればと。

 

導入のつもりでしたが、なんか難しい用語もいっぱい出てきたので今回はこのくらいで。

*1:確定拠出年金。大手企業だと会社で導入している、あるいは確定給付年金(DB)から切り替わって急に自分で運用しろとか言われて困ったりする人も多いかと思います。独立してフリーの人は青色申告で有利なんで始める人多いですね。

*2:資産配分のこと。株に何割、債券に何割とか決めた配分比率のことです。

*3:一般的には証券会社とかで企業の財務分析とかをしてる人を証券アナリストと呼びますが、アナリスト資格はそのベースになる財務分析、証券分析、マクロ・ミクロ経済をざっとカバーする資格で、日本の証券アナリストは簡単なんで主に運用に関わる仕事をする人が広く持っている資格です。

*4:ファイナンシャル・プランナー。銀行とか行くで家計の収支のバランスや貯蓄、投資の相談に乗ってくれるプロです。 

*5:専門用語でリバランスと言います

*6:株式や債券の投資信託を決まった比率で保有する投資信託です。リバランスも投資信託を運用する運用会社がやってくれるので手間はかかりませんが、その分コストがかかります。

*7:証券会社が顧客の特性に合わせて、資産配分や投資する投資信託をセレクトして運用してくれるサービスです。

ポートフォリオのリターン

投資資産の集まりをポートフォリオと言います。株と債券に投資しているなら、それらを合計した資産全体をポートフォリオと言います。

 

証券投資の話をするなら最初にポートフォリオのリターンの話が出てくるので、LaTexの練習がてら書いてみましょう。

 

t-1からtまでの1期間(1日とか1ヶ月とかと考えてください)の証券(資産)iのリターンを{\displaystyle R_i}、ある時点tの時価総額{ \displaystyle M_{i,t}}とすると、

{ \displaystyle R_i = \frac{M_{i,t}-M_{i, t-1}} {M_{i,t-1}} = \frac{M_{i,t}} {M_{i,t-1}}}-1

と定義することができます。

 

また、ある証券iの時点tの時価総額{\displaystyle M_{i,t}}とし、証券をn個保有するポートフォリオを考えると、その時価総額{\displaystyle M_{p,t}}は、iからnまでの{\displaystyle M_{i,t}}の合計なので、

{\displaystyle M_{p,t}= \sum_{i=1}^{n} M_{i,t} }

ですね。

 

証券iのリターンと同様にポートフォリオのリターンを、

{ \displaystyle R_p = \frac{M_{p,t}-M_{p, t-1}} {M_{p,t-1}} = \frac{M_{p,t}} {M_{p,t-1}}-1}

とします。

{ \displaystyle R_i = \frac{M_{i,t}} {M_{i,t-1}}}-1より、

{ \displaystyle M_{i,t}=M_{i,t-1}(R_i +1) }なので、

{\displaystyle M_{p,t}= \sum_{i=1}^{n} M_{i,t}= \sum_{i=1}^{n} M_{i,t-1}(R_i+1) }から、

{ \displaystyle R_p = \frac{M_{p,t}} {M_{p,t-1}}-1 = \frac{\sum_{i=1}^{n} M_{i,t-1}(R_i+1)} {M_{p,t-1}}-1 }

{ \displaystyle= \frac{\sum_{i=1}^{n} M_{i,t-1}R_i + \sum_{i=1}^{n} M_{i,t-1}} {M_{p,t-1}}-1 = \frac{\sum_{i=1}^{n} M_{i,t-1}R_i } {M_{p,t-1}} }

 

ここで期初(t-1)時点の証券iの保有比率(ウェイト)を、

{\displaystyle W_{i}= \frac{M_{i,t-1}}{M_{p,t-1}}}とすると、

{ \displaystyle R_p  = \sum_{i=1}^{n} W_iR_i }

となり、ポートフォリオのリターンは保有証券(資産)の(期初)ウェイト×(期間)リターンで簡単に表現できることが分かりました。

 

ウェイトとリターンとベクトルで表現すると、

{ \boldsymbol{W} = \left( \begin{array}{c} W_1\\ W_2\\ \vdots\\ W_n \end{array} \right) , \boldsymbol{R} = \left( \begin{array}{c} R_1\\ R_2\\ \vdots\\ R_n \end{array} \right) }

とかけるので、ポートフォリオのリターンは

{ \displaystyle R_p  = \boldsymbol{W^T}\boldsymbol{R}  }

とベクトル{ \displaystyle \boldsymbol{W} }{ \displaystyle \boldsymbol{R} }の積による内積スカラー)として表すことができました。

 

{ \displaystyle \boldsymbol{W^T} }{ \displaystyle \boldsymbol{W'} }などとも書いて、転置ベクトル(ベクトルの縦と横をひっくり返したもの)を表します。ファイナンスの参考書などを読んでいると、ベクトルは高校の時に習う矢印のついた{ \displaystyle \vec{a} }ではなく、太字で書かれていることが多いので、突然出てきても戸惑わないようにしましょう。

 

とりあえず、ポートフォリオのリターンが定義できたので今日はこれくらいで。

LaTeX

はてなブログではこんな感じでLaTeXで数式が書けるらしいです。LaTeXが何のかもよく知りませんが、適当に書いてみましょう。

auewe.hatenablog.com

 

とりあえず、ポートフォリオのリターン{ \displaystyle R_p  }を証券iのウェイト{ \displaystyle W_i  }とリターン{ \displaystyle R_i  }で表すと、

 { \displaystyle R_p = \sum_{i=1}^{N} W_iR_i } 

おぉっ、書けてます。

 

ポートフォリオの分散{ \displaystyle \sigma_p^2  }

{ \displaystyle \sigma_p^2 = \sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N} W_iW_j \sigma_{ij} } 

書けてる。

 

今日はこれで満足かな。

10年ぶりくらいにブログを

やろうかと思い立ちました。

 

投資とか数学とか勉強したことを備忘録的に書いていこうかと。

 

続くかな~。